双曲线的定义 平面内与两个定点 的距

　　一、 双曲线的定义及图形 画双曲线 如 图 ， 先 在 图 板 上 F1、 F2 处 分 别 按 上 一 个 图 钉 ， 再 把 细 绳 扎 牢 在 圆 环 M 上 ， 分 两 股 绕 过 图 钉 F1、 F2（ 可 以 滑 动 ） ， 且 使 F 1 M － F 2 M = 2 a（ 定 长 ） ， 再 合 起 来 穿 过 位 于 F 1 F 2 中 点 O 处 的 小孔，在 N 处打上一个结，当拉住结 N 向下运动时，穿过环 M 的 铅 笔 就 可 在 图 板 上 画 出 双 曲 线 在 右 支 上 的 一 段 ，交 换 绕 过 F1、F2 两 股 细 绳 的 位 置 ， 又 能 画 出 双 曲 线 在 左 支 上 的 一 段 。 如 果 改 变 F1 与 F2 间 的 距 离 （ 仍 保 持 O 是 F1F2 的 中 点 ） ， 还 能 画 出 开 口 大 小 不 同 的双曲线。 双曲线的定义 平面内与两个定点 、 的距离的差的值等于常数（小于｜ ｜）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点， 两焦点的距离叫做双曲线． 在 此 定 义 中 “小 于 ｜ 掉。 ｜ ”这 一 限 制 条 件 十 分 重 要 ， 不 可 去 2． 如 果 定 义 中 常 数 改 为 等 于 ｜ ｜，此时动点轨迹 是 以 为 F1、 F2 端 点 的 两 条 射 线． 如 果 定 义 中 常 数 改 为 大 于 ｜ ｜，此时动点轨迹不存在。 下面举出几个现实生活中及宇宙中行星及火箭运动轨迹是双曲线． 当 圆 锥 面 与 轴 的 夹 角 小 于 圆 锥 半 顶 角 ，且不过锥顶的平面相 截 时 ， 截 得 的 交 线 是 双 曲 线 的 一 支 ， 如 图 （ 1） 。 2 ．当 不 过 圆 锥 面 顶 点 的 平 面 与 圆 锥 面 的 两 叶 都 相 截 时 ，就 得 到 完 整 的 双 曲 线 ．飞 离 太 阳 系 的 宇 宙 火 箭 的 轨 道 ，飞 过 太 阳 系 的 慧 星 的 轨 道 都 是 双 曲 线） 。 双曲线的第二定义 点 M 到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 时，这个点的轨迹是双曲线，定点是焦点，定直线叫做 双曲线的准线，常数 e 是双曲线的离心率。 对于双曲线 ，相 应 于 焦 点 F (c，0)的 准 线 是 ，根 据 对 称 性 ，相 应 于 焦 点 F′( c ，0 ) 的 准 线 线。 ，所 以 双 曲 线 有 两 条 准 第二定义中的定直线是任意直线，定点也是任意的，这样得到 的双曲线方程，不一定是标准方程。 二、 双曲线的标准方程 焦点在 x 轴上，中心在原点的双曲线标准方程是 （ a０ ， b０ ） ，离心铸造 焦 点 F（ ±c， 0） ； 焦点在 y 轴上，中心在原点的双曲线标准方程是 （ a０ ， b０ ） ， 焦 点 F（ ０ ， ±c） 。 （ 1） a 表 示 半 实 轴 长 ，离心铸造 b 表 示 半 虚 轴 长 ， 焦 点 在 实 轴 上 。 （ 2） 从 方 程 形 式 上 看 ： 若 x2 系 数 为 正 ， 则 焦 点 在 x 轴 上 ； 若 y2 系 数 为 正 ， 则 焦 点 在 y 轴 上 。 （ 3） 在 双 曲 线 的 方 程 中 ， a、 b 间 没 有 固 定 的 大 小 关 系 ， 如 果 a ＝ b，离心铸造 那 么 双 曲 线 叫 等 轴 双 曲 线 ， 即 方 程 为 x2－ y2＝ ±a2。 （ 4） a、 b、 c 的 关 系 式 ： c2＝ a2＋ b2。
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