学到的是双曲线的中心在原点离心铸造

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　　（希腊语“ὑπερβολή”，字面意思是“超过”或“超出”）是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。

　　它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是

　　还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一般位于原点处。

　　双曲线是由平面和双锥相交形成的三种圆锥截面之一。（其他圆锥部分是抛物线和椭圆，圆是椭圆的特殊情况）如果平面与双锥的两半相交，但不通过锥体的顶点，则圆锥曲线是双曲线。

　　作为在笛卡尔平面中表示函数{\displaystylef（x）=1/x}f（x）=1/x的曲线；作为日后的阴影的路径；作为开放轨道（与闭合的椭圆轨道不同）的形状，例如在行星的重力辅助摆动期间航天器的轨道，或更一般地，超过近行星的逃逸速度的任何航天器；作为一个单一的彗星（一个旅行太快无法回到太阳系）的路径；作为亚原子粒子的散射轨迹（以排斥而不是吸引力作用，但原理是相同的）；在无线电导航中，当距离到两点之间的距离而不是距离本身可以确定时，等等。

　　双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直（较低曲率）的两个臂。对角线对面的手臂，一个从每个分支，倾向于一个共同的线，称为这两个臂的渐近线。所以有两个渐近线，其交点位于双曲线的对称中心，这可以被认为是每个分支反射以形成另一个分支的镜像点。在曲线{\displaystylef（x）=1/x}f（x）=1/x的情况下，渐近线是两个坐标轴。

　　双曲线共享许多椭圆的分析属性，如偏心度，焦点和方向图。许多其他数学物体的起源于双曲线，例如双曲抛物面（鞍形表面），双曲面（“垃圾桶”），双曲线几何（Lobachevsky的着名的非欧几里德几何），双曲线函数（sinh，cosh，tanh等）和陀螺仪矢量空间（提出用于相对论和量子力学的几何，不是欧几里得）。

　　：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e1，即为双曲线的离心率；定点不在定直线上）的点的轨迹称为

　　：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行也不通过圆锥面顶点，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线

　　+Dx+Ey+F=0满足以下条件时，其图像为双曲线、A、B、C不都是零。

　　在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。这时双曲线的方程退化为：.Ax²+Cy²+F=0

　　上述的四个定义是等价的，并且根据负号的前后位置判断图像关于x，y轴对称。

　　可以从图像中看出，双曲线有两个分支。当焦点在x轴上时，为左支与右支；当焦点在y轴上时，为上支与下支。

　　双曲线有两个焦点，两条准线中只提到了一个焦点和一条准线，但是给定同侧的一个焦点，一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支，并且两支关于虚轴对称。所以在两侧的焦点，准线和相同离心率得到的双曲线是相同的。）

　　在标准方程中令x=0，得y²=-b²，该方程无实根，为便于作图，在y轴上画出B

　　渐近线的方程求法是：将标准方程的右边的常数改为0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解。

　　以双曲线的右焦点为极点，x轴正方向为极轴建立极坐标系，则双曲线的极坐标方程为

　　注意极角θ的取值，因双曲线，得cosθ=1/e=a/c，在(-π,π)上存在两个点使得等式成立。事实上这两个角恰好就是两条渐近线的倾斜角。

　　若以左焦点为极点，仍然以x轴正方向为极轴建立极坐标系，则双曲线的极坐标方程为

　　由于双曲线在高考的小题中经常出现，并且经常结合渐近线出题，这里列举几个常见的双曲线几何性质，尤其是关于渐近线的性质，便于小题中能快速使用这些性质来解题。

　　有关渐近线）设双曲线的右准线和一条渐近线交于P，A是右支的端点，F是右焦点，那么OP=OA，OP⊥PF。左边同理。根据这个性质，

　　过焦点作渐近线的垂线，垂足一定在准线上，并且Rt△OPF的三边恰好为a、b、c。

　　。连接PF，在△OPF中使用余弦定理可得PF=b，∠OPF=90°。即Rt△OPF的三边恰好为a、b、c。

　　证明：以右焦点和右准线为例，过P作PM⊥准线于M，根据双曲线的第二定义，

　　又根据已知条件，PQ与PM的夹角（或其补角）恰好为渐近线的倾斜角，于是

　　（3）过双曲线上一点P作x（y）轴的平行线，交渐近线于A、B，则PA*PB=a²（b²）。

　　证明：根据平面几何知识可知∠MON和∠MPN互补，因此cos∠MPN=-cos∠MON

　　（5）设一条直线与双曲线交于A、B两点（可以同支或不同支），交两条渐近线于C、D两点，则AC=BD。特别地，若直线是双曲线的切线，切点为P，那么有PC=PD。

　　②当直线不垂直于x轴时，过A、B分别作x轴的垂线，两条垂线交两渐近线于M、N、R、S四点。

　　又根据性质3，AM*AN=BR*BS=b²，所以有AC*AD=BC*BD

　　当CD是切线时，AB重合为一点P，此时有PC=PD，即：双曲线的一条切线交两条渐近线于两点，则切点到这两点的距离相等。

　　证明：显然，所有平行于x轴的直线都和双曲线有两个交点，因此它们都不会是切线，即双曲线的切线必定与x轴不平行。

　　从该式子可看出a²b²m²（因为n一定不会是0，如果n=0则b²m²=a²，使得上述方程的二次项为0，于是得到矛盾方程a²b²=0），因此a±bm≠0。

　　因为圆锥曲线涉及切线问题的几乎只有焦点在y轴上的抛物线，双曲线不会考，但作为补充仍给出下列性质。

　　（注：利用隐函数的求导法则求出斜率后，根据点斜式写出切线）设双曲线在P点的切线与准线交点为Q，那么∠PFQ=90°。焦点弦两端的切线是两条焦半径，那么P点的切线。反过来，若已知某直线的夹角，那么该直线与双曲线切于P。这个性质又被称作双曲线的光学性质，即从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光的反向延长线经过另一个焦点。

　　（10）若椭圆和双曲线的焦点相同，在椭圆与双曲线的交点处分别作椭圆与双曲线的切线，那么这两条切线垂直。

　　设双曲线两条互相垂直的切线交于P，则P的轨迹是一个圆（去掉与渐近线个交点）。

　　)，因为双曲线的切线不可能与x轴平行，所以另一条切线不可能与y轴平行，即两条切线都有斜率。

　　设AB是双曲线的一条弦（A和B可以在同支或不同支），弦对中心O的张角∠AOB=90°，则无论AB的位置如何，O到直线AB的距离都是一个常数。以该常数为半径，中心O为圆心的圆叫做双曲线的内准圆。

　　以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则根据极坐标与直角坐标的转换关系，双曲线上任意一点(ρ,θ)均满足

　　第二个等式是利用了三角函数的诱导公式cos(θ+90°)=-sinθ和sin(θ+90°)=cosθ。

　　，所以双曲线内外准圆只能有其中一个。特别地，等轴双曲线（又叫直角双曲线，满足a=b）既没有内准圆也没有外准圆。

　　这个性质可以简单记忆如下：双曲线内准圆的任意一条切线被双曲线截得的弦，对中心O的张角为直角。

　　A（-a，0），A（a，0）。同时AA叫做双曲线，b）。同时BB叫做双曲线

　　第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│与点P到定直线（相应准线）的距离d的比等于双曲线的离心率e。

　　共轭双曲线;的实轴是双曲线S的虚轴且双曲线;的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线;与双曲线S为共轭双曲线。

　　由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式。

　　从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用。

　　毋光先, 毋绪道. 椭圆 双曲线准线的几何作图[J]. 数学通报, 2003(3):26-26.

　　Kazarinoff, Nicholas D. (2003), Ruler and the Round, Mineola, N.Y.: Dover, ISBN 0-486-42515-0
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